Kalkulus Contoh

$x y^{2} + 4 x y = 10$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x y) = \frac{d}{d x} (10)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} + 4 x y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x y$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3.2

$2 x y y' + y^{2} + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 (x y' + y)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x y y' + y^{2} + 4 (x y') + 4 y$

Langkah 2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x y y' + y^{2} + 4 x y' + 4 y$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 x y' + 4 y$

Langkah 3

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 x y' + 4 y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' + 4 x y' + 4 y = - y^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $4 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' + 4 x y' = - y^{2} - 4 y$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x y y' + 4 x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x y y'$ .

$2 x y' y + 4 x y' = - y^{2} - 4 y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2 x y'$ dari $4 x y'$ .

$2 x y' y + 2 x y' \cdot 2 = - y^{2} - 4 y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x y' y + 2 x y' \cdot 2$ .

$2 x y' (y + 2) = - y^{2} - 4 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 x y' (y + 2) = - y^{2} - 4 y$ dengan $2 x (y + 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x y' (y + 2) = - y^{2} - 4 y$ dengan $2 x (y + 2)$ .

$\frac{2 x y' (y + 2)}{2 x (y + 2)} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x y' (y + 2)}{2 x (y + 2)} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y' (y + 2)}{x (y + 2)} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (y + 2)}{x (y + 2)} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 y$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{2 (- 2 y)}{2 x (y + 2)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (y + 2)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (x (y + 2))}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (x (y + 2))}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 2)} + \frac{- 2 y}{x (y + 2)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 2)} - \frac{2 y}{x (y + 2)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{2 x (y + 2)} - \frac{2 y}{x (y + 2)}$