Kalkulus Contoh

$x^{7} y + y^{7} x = 4$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{7} y + y^{7} x) = \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{7} y + y^{7} x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{7} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{7}$ dan $g (x) = y$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{7} y' + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$x^{7} y' + y (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{7}$ dan $g (x) = x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{7}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} y')$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y^{7}$ dengan $1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + x (7 y^{6} y')$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + 7 x y^{6} y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y'$

Langkah 3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $y^{7}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = - y^{7}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $7 x^{6} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{7} y' + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Langkah 5.2

Faktorkan $x y'$ dari $x^{7} y' + 7 y^{6} x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $x^{7} y'$ .

$x y' x^{6} + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $7 y^{6} x y'$ .

$x y' x^{6} + x y' (7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' x^{6} + x y' (7 y^{6})$ .

$x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ dengan $x (x^{6} + 7 y^{6})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ dengan $x (x^{6} + 7 y^{6})$ .

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{6} + 7 y^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{6}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $- 7 x^{6} y$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

Langkah 5.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (x^{6} + 7 y^{6})$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{(x^{6} + 7 y^{6}) x}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x^{6} + 7 y^{6}) x$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{7} - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{7} - 7 x^{5} y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{7}$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.5.1.2

Faktorkan $y$ dari $- 7 x^{5} y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.5.1.3

Faktorkan $y$ dari $y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.5.2

Kalikan $x^{5}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.2.1

Pindahkan $x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x \cdot x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.5.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x^{1} x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.5.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{1 + 5})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.5.2.3

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.6.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 7 x^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - (7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{6}) - (7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.6.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.4.1

Tulis kembali $- (y^{6} + 7 x^{6})$ sebagai $- 1 (y^{6} + 7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 5.3.3.6.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$