Kalkulus Contoh

$x^{2} + 3 x y + y^{3} = 10$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3 x y + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x + 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 3 (x y') + 3 y + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x + 3 x y' + 3 y + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y$

Langkah 3

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 3 y = - 2 x$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $3 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x y' + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Langkah 5.2

Faktorkan $3 y'$ dari $3 x y' + 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $3 y'$ dari $3 x y'$ .

$3 y' x + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x + 3 y' y^{2} = - 2 x - 3 y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y' x + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ dengan $3 (x + y^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ dengan $3 (x + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- y}{x + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{y}{x + y^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $3 (x + y^{2})$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{y}{x + y^{2}}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{(x + y^{2}) \cdot 3}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + y^{2}) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.9.1

Tulis kembali $- (2 x + 3 y)$ sebagai $- 1 (2 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$