Kalkulus Contoh

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 2.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 2.2.5.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Langkah 2.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Langkah 2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Langkah 2.3.6.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Langkah 2.3.7

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Langkah 2.3.8

Gabungkan $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ dan $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Langkah 3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan faktor persekutuan $x^{\frac{1}{3}}$ yang ada dalam setiap suku.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Langkah 5.2

Substitusikan $u$ untuk $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 5.3.3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 5.3.4

Bagi setiap suku pada $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Bagilah setiap suku di $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ dengan $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Langkah 5.3.4.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Langkah 5.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

Langkah 5.3.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

Langkah 5.3.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

Langkah 5.3.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

Langkah 5.3.4.3.2.4

Bagilah $- y' y^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 5.4

Substitusikan $y'$ untuk $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$