Kalkulus Contoh

$x^{5} - 32$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Langkah 3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$2^{5} - 32$

Langkah 3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$32 - 32$

Langkah 3.3

Kurangi $32$ dengan $32$ .

$0$

Langkah 4

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{5} - 32}{x - 2}$

Langkah 5

Bagilah $x^{5} - 32$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

Langkah 5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{5}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

Langkah 5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Langkah 5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{5} - 2 x^{4}$

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Langkah 5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Langkah 5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

Langkah 5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

Langkah 5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

Langkah 5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{4} - 4 x^{3}$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

Langkah 5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

Langkah 5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Langkah 5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Langkah 5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Langkah 5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{3} - 8 x^{2}$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Langkah 5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Langkah 5.16

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

Langkah 5.17

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $8 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

Langkah 5.18

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

Langkah 5.19

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $8 x^{2} - 16 x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

Langkah 5.20

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

Langkah 5.21

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

Langkah 5.22

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $16 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

Langkah 5.23

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

$16 x$

$32$

Langkah 5.24

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $16 x - 32$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

$16 x$

$32$

Langkah 5.25

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

$16 x$

$32$

$0$

Langkah 5.26

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16$

Langkah 6

Tulis $x^{5} - 32$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) (x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16)$