Kalkulus Contoh

$y = (x^{2} + 1) (x + 5 + \frac{1}{x})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2} + 1$ dan $g (x) = x + 5 + \frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 5 + \frac{1}{x}] + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 5 + \frac{1}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + 0)$

Langkah 2.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x)$

Langkah 2.9.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 5 + \frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + 2 \cdot (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + (2 x + 2 \cdot 5 + 2 \frac{1}{x}) x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Langkah 3.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Langkah 3.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Langkah 3.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Langkah 3.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Langkah 3.4.5

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2 \frac{1}{x} x$

Langkah 3.4.6

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2}{x} x$

Langkah 3.4.7

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $x$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

Langkah 3.4.8

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

Langkah 3.4.8.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$2 x^{2} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Langkah 3.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Perluas $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} + 1 (x^{2} + 1) - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Langkah 3.6.1.2

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Langkah 3.6.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Langkah 3.6.2.1.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Langkah 3.6.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Langkah 3.6.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Langkah 3.6.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Langkah 3.6.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Langkah 3.6.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 0 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Langkah 3.6.2.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$2 x^{2} + x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Langkah 3.7

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$