Kalkulus Contoh

$y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = x^{2}$ .

$3 y^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + y (2 x) + x^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.5.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.5.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 y y')$

Langkah 2.5.4

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 6 y y'$

Langkah 2.6

Susun kembali suku-suku.

$3 y^{2} y' + 2 x y + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x$

Langkah 3

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 y^{2} y' + 2 x y + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x = - 2 x y$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x^{2} y' - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x^{2}) - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $- 6 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x^{2}) + y' (- 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2}) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + x^{2}) + y' (- 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2} + x^{2}) + y' (- 6 y)$ .

$y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$ dengan $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$ dengan $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x y - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) - 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2.1.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.2.2

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- y - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.3.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1 (1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y + 1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.4.1

Tulis kembali $- (y + 1)$ sebagai $- 1 (y + 1)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (y + 1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 5.3.3.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{(2 x) (y + 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y + 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$