Kalkulus Contoh

$\ln (\sqrt{x y})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x y}$ sebagai ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x y$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x y$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 10

Pindahkan ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 12

Kalikan ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 12.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 12.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 12.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{1}} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 13

Sederhanakan $2 {(x y)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x y)} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 14

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 15

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{2 x y}$ .

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 15.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x} \cdot 1$

Langkah 17

Kalikan $\frac{1}{2 x}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 x}$