Kalkulus Contoh

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)}$ sebagai $e^{\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})$ dengan memindahkan $\ln (x)$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \ln (x^{3} - 2 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} - 2 x)] + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{3} - 2 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{3} - 2 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{1}{x^{3} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{3} - 2 x}$ dan $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x] + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 2 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2 \cdot 1) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 6

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{1}{x})$

Langkah 7

Gabungkan $\ln (x^{3} - 2 x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

Langkah 8

Untuk menuliskan $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2)$ dan $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) x}{x} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

Langkah 10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) x + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$

Langkah 11

Gabungkan $x$ dan $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$

Langkah 12

Gabungkan $e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}$ dan $\frac{\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x \cdot x^{2} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Langkah 13.1.1.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 x$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 2} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Langkah 13.1.1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot - 2$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x (x^{2} - 2)} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Langkah 13.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x (x^{2} - 2)} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Langkah 13.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} - 2} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Langkah 13.1.1.3

Kalikan $\frac{\ln (x)}{x^{2} - 2}$ dengan $3 x^{2} - 2$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Langkah 13.1.2

Untuk menuliskan $\ln (x^{3} - 2 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 2}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2})}{x}$

Langkah 13.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x) (3 x^{2}) + \ln (x) \cdot - 2 + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.4.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} + \ln (x) \cdot - 2 + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.4.3

Kalikan $\ln (x) \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.3.1

Susun kembali $\ln (x)$ dan $- 2$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} - 2 \cdot \ln (x) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.4.3.2

Sederhanakan $- 2 \cdot \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.4.4

Sederhanakan $3 \ln (x)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.4.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} + \ln (x^{3} - 2 x) \cdot - 2}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.4.6

Kalikan $\ln (x^{3} - 2 x) \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.6.1

Susun kembali $\ln (x^{3} - 2 x)$ dan $- 2$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - 2 \cdot \ln (x^{3} - 2 x)}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.4.6.2

Sederhanakan $- 2 \cdot \ln (x^{3} - 2 x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2})}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.5

Gabungkan $e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}$ dan $\frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2})}{x^{2} - 2}$ .

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.1.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}$ .

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$

Langkah 13.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Tulis kembali $\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$ sebagai hasil kali.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 13.2.2

Kalikan $\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{(x^{2} - 2) x}$

Langkah 13.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x (x^{2} - 2)}$