Kalkulus Contoh

$y = {(2 x - 5)}^{4} {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = {(2 x - 5)}^{4}$ dan $g (x) = {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ .

${(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 5)}^{- 3}] + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 3}$ dan $g (x) = 8 x^{2} - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $8 x^{2} - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $8 x^{2} - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x^{2} - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 3.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 3.4

Kalikan $2$ dengan $8$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 3.5

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + 0)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $16 x$ dan $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 3.6.2

Kalikan $16$ dengan $- 3$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = 2 x - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri ${(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 \cdot {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 5.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 5.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 5.6

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + 0)$

Langkah 5.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2$

Langkah 5.7.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan $- 48$ dan $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{- 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.3.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{x \cdot 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.3.4

Pindahkan $48$ ke sebelah kiri $x$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48 \cdot x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.3.5

Gabungkan ${(2 x - 5)}^{4}$ dan $\frac{48 x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

$- \frac{{(2 x - 5)}^{4} (48 x)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.3.6

Pindahkan $48$ ke sebelah kiri ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$- \frac{48 \cdot {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.3.7

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Langkah 6.3.8

Gabungkan $\frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ dan ${(2 x - 5)}^{3}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$

Langkah 6.3.9

Untuk menuliskan $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} \cdot \frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$

Langkah 6.3.10

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari ${(8 x^{2} - 5)}^{4}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.10.1

Kalikan $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ dengan $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}$

Langkah 6.3.10.2

Kalikan ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ dengan $8 x^{2} - 5$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.10.2.1

Kalikan ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ dengan $8 x^{2} - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.10.2.1.1

Naikkan $8 x^{2} - 5$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} {(8 x^{2} - 5)}^{1}}$

Langkah 6.3.10.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3 + 1}}$

Langkah 6.3.10.2.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 48 {(2 x - 5)}^{4} x + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Faktorkan $8 {(2 x - 5)}^{3}$ dari $- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Faktorkan $8 {(2 x - 5)}^{3}$ dari $- 48 x {(2 x - 5)}^{4}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5.1.2

Faktorkan $8 {(2 x - 5)}^{3}$ dari $8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5) + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 6$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.5.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.5.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 (x \cdot x) + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5.5.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5.5.2

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 12 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.5.6

Tambahkan $- 12 x^{2}$ dan $8 x^{2}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 4 x^{2} + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 x^{2}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.7

Faktorkan $- 1$ dari $30 x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) - (- 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x^{2}) - (- 30 x)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.9

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.11

Tulis kembali $- (4 x^{2} - 30 x + 5)$ sebagai $- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Langkah 6.13

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

$- \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$