Kalkulus Contoh

$y = \frac{2 \ln (x + 3)}{x^{2}}$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 \ln (x + 3)}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 3)}{x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 3)}{x^{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \ln (x + 3)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 3$ .

$2 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$2 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3$ .

$2 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{x + 3}$ dan $x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 5.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (1 + 0) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 5.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} \cdot 1 - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 5.5.2

Kalikan $\frac{x^{2}}{x + 3}$ dengan $1$ .

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 6

Kalikan $\frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ dengan $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$2 (\frac{x + 3}{x + 3} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Langkah 7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan.

$2 \frac{(x + 3) (\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{(x + 3) \frac{x^{2}}{x + 3} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

Langkah 7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{(x + 3) \frac{x^{2}}{x + 3} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

Langkah 7.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- \ln (x + 3) (2 x))}{(x + 3) x^{4}}$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x)}{(x + 3) x^{4}}$

Langkah 9.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x)}{(x + 3) x^{4}}$ .

$\frac{2 (x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{(x + 3) x^{4}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{(x + 3) x^{4}}$

Langkah 10.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (x + 3)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 (x (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x) + 3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) + 3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.4

Kalikan $3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - 3 (\ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.4.2

Susun kembali $\ln ({(x + 3)}^{2})$ dan $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - 3 \cdot \ln ({(x + 3)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.4.3

Sederhanakan $- 3 \cdot \ln ({(x + 3)}^{2})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.5.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.5.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.5.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.5.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 3)}^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({(x + 3)}^{2 \cdot 3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.7

Kalikan $2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.7.2

Sederhanakan $- 2 \ln ({(x + 3)}^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.8

Kalikan $2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - 2 (\ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.8.2

Susun kembali $\ln ({(x + 3)}^{6})$ dan $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - 2 \cdot \ln ({(x + 3)}^{6}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.8.3

Sederhanakan $- 2 \cdot \ln ({(x + 3)}^{6})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.9.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.9.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.9.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2 \cdot 2}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.9.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.9.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 3)}^{6})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.9.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{6 \cdot 2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.1.9.3.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}) x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.4

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{1} x^{4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{1 + 4} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.4.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.5

Faktorkan $x$ dari $2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x) - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.5.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4})$ .

$\frac{x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4})) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.5.3

Faktorkan $x$ dari $- x \ln ({(x + 3)}^{12})$ .

$\frac{x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.5.4

Faktorkan $x$ dari $x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4}))$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.5.5

Faktorkan $x$ dari $x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Langkah 10.6

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{5} + 3 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{5}$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

Langkah 10.6.2

Faktorkan $x^{4}$ dari $3 x^{4}$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Langkah 10.6.3

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ .

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} (x + 3)}$

Langkah 10.7

Perluas $\ln ({(x + 3)}^{4})$ dengan memindahkan $4$ ke luar logaritma.

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} (x + 3)}$

Langkah 10.8

Perluas $\ln ({(x + 3)}^{12})$ dengan memindahkan $12$ ke luar logaritma.

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x^{4} (x + 3)}$

Langkah 10.9

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.9.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4} (x + 3)$ .

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x (x^{3} (x + 3))}$

Langkah 10.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x (x^{3} (x + 3))}$

Langkah 10.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

Langkah 10.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x - 4 x \ln (x + 3) - 1 \cdot 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

Langkah 10.10.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$\frac{2 x - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

Langkah 10.10.3

Faktorkan $2$ dari $2 x - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

Langkah 10.10.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 4 x \ln (x + 3)$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3)) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

Langkah 10.10.3.3

Faktorkan $2$ dari $- 12 \ln (x + 3)$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

Langkah 10.10.3.4

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3))$ .

$\frac{2 (x - 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

Langkah 10.10.3.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x - 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))$ .

$\frac{2 (x - 2 x \ln (x + 3) - 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$