Kalkulus Contoh

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 2} (x)$

Langkah 1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 2} (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Langkah 2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sin (x)$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Langkah 2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \cos^{- 2} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)] + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 2} (x) \cdot 1$

Langkah 3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)) + \cos^{- 2} (x) \cdot 1$

Langkah 3.6

Kalikan $\cos^{- 2} (x)$ dengan $1$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)) + \cos^{- 2} (x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)) + \cos^{- 2} (x)$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ ke $\sec^{3} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \sec^{3} (x) \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ ke $\sec^{2} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \sec^{3} (x) \sin (x)) + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.4

Susun kembali suku-suku.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{3} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.5.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.5.4

Kalikan $2 x \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + x \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.5.4.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{x \cdot 2}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.5.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \cdot x}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.5.6

Gabungkan $\frac{2 x}{\cos^{3} (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x)$

Langkah 4.5.7

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Langkah 4.5.8

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.5.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{3} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.2

Pisahkan pecahan.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.3

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.4

Gabungkan $\frac{2 x}{\cos^{2} (x)}$ dan $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \tan (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.5

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.6

Pisahkan pecahan.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.7

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.8

Tulis kembali $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ sebagai hasil kali.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.9.1

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.9.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.10

Kalikan $\frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.10.1

Gabungkan $\tan (x)$ dan $\frac{2 x}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (2 x)}{\cos (x)} \sec (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.10.2

Gabungkan $\frac{\tan (x) (2 x)}{\cos (x)}$ dan $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (2 x) \sec (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.11

Pisahkan pecahan.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.12

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.13

Tulis kembali $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ sebagai hasil kali.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.14.1

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.14.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.15

Bagilah $(2 x) \sec (x)$ dengan $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + (2 x) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.16

Kalikan $(2 x) \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.16.1

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.16.2

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.16.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.16.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.17

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.6.18

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ sebagai ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Langkah 4.6.19

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$