Kalkulus Contoh

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{9}{7}}$ dan $g (x) = 3 x^{4} + 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{9}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 6.2

Kurangi $7$ dengan $9$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{9}{7}$ dan ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Langkah 8

Kalikan $\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ dengan $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Langkah 9

Pindahkan ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Langkah 10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ dengan ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Pindahkan ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ .

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Langkah 10.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Langkah 10.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Langkah 10.1.4

Tambahkan $- 2$ dan $9$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Langkah 10.1.5

Bagilah $7$ dengan $7$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Langkah 10.2

Sederhanakan $7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Langkah 11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} + 5 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 12

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 14

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 15

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

Langkah 17

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Langkah 18.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Langkah 18.2.2

Kalikan $5$ dengan $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

Langkah 18.3

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

Langkah 18.4

Faktorkan $7 x$ dari $21 x^{4} + 35 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Faktorkan $7 x$ dari $21 x^{4}$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

Langkah 18.4.2

Faktorkan $7 x$ dari $35 x$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

Langkah 18.4.3

Faktorkan $7 x$ dari $7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Langkah 18.5

Kalikan $12 x^{3} + 5$ dengan $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ .

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Langkah 18.6

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $12 x^{3} + 5$ .

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$