Kalkulus Contoh

$y = \ln (\frac{x}{x + 1})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{x}{x + 1}$ .

$1 \frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 3

Kalikan $\frac{x + 1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.5

Kalikan $\frac{x + 1}{x}$ dengan $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.6

Hapus faktor persekutuan dari $x + 1$ dan ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.2.1

Faktorkan $x + 1$ dari $x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

Langkah 5.6.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

Langkah 5.6.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x (x + 1)}$