Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x] - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 5 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \cdot 1) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) + (- (3 x^{2}) - (- 5 x)) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Perluas $(x^{2} + 1) (6 x - 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (6 x - 5) + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{6 x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.3

Pindahkan $- 5$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.4

Kalikan $6 x$ dengan $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.5

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x \cdot x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x^{1} x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{1 + 2}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{3}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 3 x^{3} \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.6.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 (x \cdot x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x^{2}) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.7

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.8

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kurangi $6 x^{3}$ dengan $6 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 0 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.2.2

Tambahkan $- 5 x^{2} + 6 x - 5$ dan $0$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.3.3

Tambahkan $- 5 x^{2}$ dan $10 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 6 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$