Kalkulus Contoh

$x^{2} \arctan (9 x)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \arctan (9 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (9 x)] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = 9 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $9 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $9 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(9 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $9$ dari $9 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(9 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $9 (x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 9^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.1.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{1 + 81 x^{2}}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4

Gabungkan $9$ dan $\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.6

Kalikan $\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \arctan (9 x) (2 x)$

Langkah 4

Untuk menuliskan $\arctan (9 x) (2 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + 81 x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \frac{\arctan (9 x) (2 x) (1 + 81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9 x^{2} + \arctan (9 x) (2 x) (1 + 81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 x^{2} + \arctan (9 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x \cdot 1 + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2.1.3.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x^{3}) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 2 \arctan (9 x) x^{3} \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $81$ dengan $2$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 162 \arctan (9 x) x^{3}}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 162 \arctan (9 x) x^{3}$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 x \arctan (9 x) + 162 x^{3} \arctan (9 x)}{1 + 81 x^{2}}$

Langkah 6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{9 x^{2} + 2 x \arctan (9 x) + 162 x^{3} \arctan (9 x)}{81 x^{2} + 1}$