Kalkulus Contoh

$x^{2} \ln (2 x + 1)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2 x + 1}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) (2 x)$

Langkah 4

Untuk menuliskan $\ln (2 x + 1) (2 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 x^{2} + \ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln (2 x + 1) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan $2 \ln (2 x + 1)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x) + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.5

Kalikan $\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.6.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.6.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) (x \cdot x) + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.6.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.6.2

Sederhanakan $2 \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.6.3

Kalikan eksponen dalam ${({(2 x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.6.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Langkah 6.1.6.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Langkah 6.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln ({(2 x + 1)}^{4}) + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$