Kalkulus Contoh

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2

Kalikan $x^{2} + y^{2}$ dengan $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 9

Gabungkan $y$ dan $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.2.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3} - x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.4.1.2

Faktorkan $y$ dari $- x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.4.1.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ .

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Langkah 10.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = x$ .

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$