Kalkulus Contoh

$4 \cos^{2} (x) - 9 \cos (x) + 2 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\cos (x)$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $- 9$ dari $- 9 u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali $- 9$ sebagai $- 1$ ditambah $- 8$

$4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(4 u^{2} - 1 u) - 8 u + 2 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 2) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Langkah 3

Atur $4 \cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $4 \cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $4 \cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$4 \cos (x) = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $4 \cos (x) = 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 \cos (x) = 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Langkah 3.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Evaluasi $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Langkah 3.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Langkah 3.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Langkah 3.2.6.2

Sederhanakan $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Langkah 3.2.6.2.2

Kurangi $1.31811607$ dengan $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Langkah 3.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $\cos (x) - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\cos (x) - 2$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\cos (x) - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 2$

Langkah 4.2.2

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $2$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ benar.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$