Kalkulus Contoh

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Langkah 1

Tentukan asimtot.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur argumen logaritma agar sama dengan nol.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 3$ , $b = - 2$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.3

Kurangi $12$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.4

Tulis kembali $- 8$ sebagai $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (8)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.7

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.3

Kurangi $12$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.4

Tulis kembali $- 8$ sebagai $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (8)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.7

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Langkah 1.2.4.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Langkah 1.2.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.3

Kurangi $12$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.4

Tulis kembali $- 8$ sebagai $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (8)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.7

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Langkah 1.2.5.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Langkah 1.2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Langkah 1.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Langkah 1.3

Asimtot tegak terjadi pada $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ .

Asimtot Tegak: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Langkah 2

Tentukan titik pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Langkah 2.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Langkah 2.3

Konversikan $\ln (2)$ ke desimal.

$y = 0.69314718$

Langkah 3

Tentukan titik pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Langkah 3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Langkah 3.3

Konversikan $\ln (9)$ ke desimal.

$y = 2.19722457$

Langkah 4

Tentukan titik pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Langkah 4.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Langkah 4.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Langkah 4.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $6$ dengan $27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $21$ dan $1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Langkah 4.3

Konversikan $\ln (22)$ ke desimal.

$y = 3.09104245$

Langkah 5

Fungsi logaritma dapat digambarkan menggunakan asismtot tegak pada $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ dan titik-titik $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Asimtot Tegak: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Langkah 6