Kalkulus Contoh

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2} + 4$ dan $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 1.2.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

Langkah 1.2.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

Langkah 1.2.7.2

Susun kembali suku-suku.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Langkah 1.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y' + 4 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2} + y' \cdot 4$ .

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ dengan $x^{2} + 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ dengan $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

Langkah 1.7.3.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

Langkah 1.7.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

Langkah 1.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Langkah 1.7.4.2.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.7.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.7.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.4.3

Tulis kembali $- 1 (\frac{1}{2})$ sebagai $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{1}{2}$ dan titik yang diberikan $(2, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Langkah 3