Kalkulus Contoh

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 1.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Langkah 1.2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $y \sec^{2} (x y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ dengan $x \sec^{2} (x y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ dengan $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec^{2} (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec^{2} (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Langkah 1.5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.3

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ sebagai ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.4

Tulis kembali $\sec ((1) \cdot (0))$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.5

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ .

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.6.1

Kalikan $0$ dengan $1$ .

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.6.2

Kalikan $\cos (0)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$1^{2} - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - \frac{0}{1}$

Langkah 1.7.3.9

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$1 - 0$

Langkah 1.7.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.7.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $1$ dan titik yang diberikan $(1, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$y = x - 1$

Langkah 3