Kalkulus Contoh

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - x^{2}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{2} = 2 x - x^{2}$

Langkah 1.2

Selesaikan $x^{2} = 2 x - x^{2}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $x$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$2 x - x^{2} = x^{2}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Langkah 1.2.2.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$2 u - 2 u^{2} = 0$

Langkah 1.2.3.2

Faktorkan $2 u$ dari $2 u - 2 u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Faktorkan $2 u$ dari $2 u$ .

$2 u (1) - 2 u^{2} = 0$

Langkah 1.2.3.2.2

Faktorkan $2 u$ dari $- 2 u^{2}$ .

$2 u (1) + 2 u (- u) = 0$

Langkah 1.2.3.2.3

Faktorkan $2 u$ dari $2 u (1) + 2 u (- u)$ .

$2 u (1 - u) = 0$

Langkah 1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$2 x (1 - x) = 0$

Langkah 1.2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 x - x^{2}$

Langkah 1.2.5

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.6

Atur $1 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $1 - x$ sama dengan $0$ .

$1 - x = 0$

Langkah 1.2.6.2

Selesaikan $1 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 1$

Langkah 1.2.6.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.6.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 1$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 x (1 - x) = 0$ benar.

$x = 0, 1$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 2 (0) - {(0)}^{2}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $0$ ke $x$ dalam $y = 2 (0) - {(0)}^{2}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 (0) - 0^{2}$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $2 (0) - 0^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$y = 0 - 0^{2}$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 - 0$

Langkah 1.3.2.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0$

Langkah 1.3.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$y = 2 (1) - {(1)}^{2}$

Langkah 1.4.2

Substitusikan $1$ ke $x$ dalam $y = 2 (1) - {(1)}^{2}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 (1) - 1^{2}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan $2 (1) - 1^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = 2 - 1^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = 2 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = 2 - 1$

Langkah 1.4.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$y = 1$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Langkah 2

Susun kembali $2 x$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x^{2}) d x$

Langkah 4.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} + 2 x d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Langkah 4.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Langkah 4.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Langkah 4.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Langkah 4.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Langkah 4.9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$- 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Langkah 4.9.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$- 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} + 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.5

Tambahkan $\frac{1}{3}$ dan $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 4.9.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.10.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Langkah 4.9.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 4.9.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 4.9.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Langkah 4.9.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Langkah 4.9.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Langkah 4.9.2.3.12

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.9.2.3.13

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

Langkah 4.9.2.3.14

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.14.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

Langkah 4.9.2.3.14.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2}{3} + 1$

Langkah 4.9.2.3.15

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

Langkah 4.9.2.3.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2 + 3}{3}$

Langkah 4.9.2.3.17

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 5