Kalkulus Contoh

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = - x$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$4 x - x^{2} = - x$

Langkah 1.2

Selesaikan $4 x - x^{2} = - x$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x - x^{2} + x = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tambahkan $4 x$ dan $x$ .

$- x^{2} + 5 x = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $- x$ dari $- x^{2} + 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $- x$ dari $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 5 x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $- x$ dari $5 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 5 = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $- x$ dari $- x (x) - x (- 5)$ .

$- x (x - 5) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0 + y = - x$

Langkah 1.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- x (x - 5) = 0$ benar.

$x = 0, 5$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = - (0)$

Langkah 1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $5$ untuk $x$ .

$y = - (5)$

Langkah 1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = - 5$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

Langkah 2

Susun kembali $4 x$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{5} - x d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x - (- x) d x$

Langkah 4.2

Kalikan $- (- x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- x^{2} + 4 x + 1 x$

Langkah 4.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$- x^{2} + 4 x + x$

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x + x d x$

Langkah 4.3

Tambahkan $4 x$ dan $x$ .

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 5 x d x$

Langkah 4.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{5} - x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Langkah 4.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Langkah 4.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Langkah 4.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Langkah 4.8

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 \int_{0}^{5} x d x$

Langkah 4.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5})$

Langkah 4.10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Langkah 4.10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $5$ dan pada $0$ .

$- ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Langkah 4.10.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $5$ dan pada $0$ .

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- (\frac{125}{3} - 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- (\frac{125}{3} + 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.5

Tambahkan $\frac{125}{3}$ dan $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.6

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.10.2.3.7

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 4.10.2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Langkah 4.10.2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.3.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 4.10.2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 4.10.2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

Langkah 4.10.2.3.8.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - 0)$

Langkah 4.10.2.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} + 0)$

Langkah 4.10.2.3.10

Tambahkan $\frac{25}{2}$ dan $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2})$

Langkah 4.10.2.3.11

Gabungkan $5$ dan $\frac{25}{2}$ .

$- \frac{125}{3} + \frac{5 \cdot 25}{2}$

Langkah 4.10.2.3.12

Kalikan $5$ dengan $25$ .

$- \frac{125}{3} + \frac{125}{2}$

Langkah 4.10.2.3.13

Untuk menuliskan $- \frac{125}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2}$

Langkah 4.10.2.3.14

Untuk menuliskan $\frac{125}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 4.10.2.3.15

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.3.15.1

Kalikan $\frac{125}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 4.10.2.3.15.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 4.10.2.3.15.3

Kalikan $\frac{125}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.10.2.3.15.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{6}$

Langkah 4.10.2.3.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 125 \cdot 3}{6}$

Langkah 4.10.2.3.17

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.3.17.1

Kalikan $- 125$ dengan $2$ .

$\frac{- 250 + 125 \cdot 3}{6}$

Langkah 4.10.2.3.17.2

Kalikan $125$ dengan $3$ .

$\frac{- 250 + 375}{6}$

Langkah 4.10.2.3.17.3

Tambahkan $- 250$ dan $375$ .

$\frac{125}{6}$

Langkah 5