Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Langkah 1.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Langkah 1.1.3.1.3

Evaluasi limit dari $π$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{0}{π - π}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\tan (x) - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3.3

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 0}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Tambahkan $\sec^{2} (x)$ dan $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3.5.2

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3.5.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3.5.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Langkah 1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - π$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Langkah 1.3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Langkah 1.3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Langkah 1.3.7.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Langkah 1.3.8

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + 0}$

Langkah 1.3.9

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 1.5

Kalikan $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x) \cdot 4}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Langkah 2.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Langkah 2.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $\cos^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}}$

Langkah 2.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan.

$\frac{1 \cdot 1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.3

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{4 \frac{2}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4 (\frac{2}{4})}$

Langkah 4.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 4.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 4.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 4.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 4.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 4.5

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$