Kalkulus Contoh

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = 4 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = 4 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Langkah 3.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 1$

Langkah 3.1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

Langkah 4

Perluas $- (- u + 4) u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Langkah 4.3

Pindahkan tanda kurung.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Langkah 4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Langkah 4.5

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Langkah 4.6

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Langkah 4.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Langkah 4.8

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Langkah 4.9

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Langkah 7

Karena $- 4$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Langkah 9.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - x$ .

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

Langkah 11

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$