Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 5 x) d x$

Langkah 3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = 6 + 5 x$ dan $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 + 5 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Langkah 4.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 5 d x$

Langkah 4.3

Gabungkan $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $5$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3} d x$

Langkah 4.4

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Langkah 5

Karena $\frac{10}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{10}{3}$ keluar dari integral.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{10}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ sebagai $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 7.2.2

Kalikan $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ dengan $\frac{10}{3}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 10}{5 \cdot 3} + C$

Langkah 7.2.3

Kalikan $10$ dengan $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Langkah 7.2.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 7.2.5

Faktorkan $5$ dari $20 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Langkah 7.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

Langkah 7.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

Langkah 7.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Langkah 7.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Langkah 7.2.8

Kurangi $4 x^{\frac{5}{2}}$ dengan $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Langkah 7.2.9

Faktorkan $3$ dari $6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

Langkah 7.2.10

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.10.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

Langkah 7.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Langkah 7.2.10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Langkah 7.2.10.4

Bagilah $2 x^{\frac{5}{2}}$ dengan $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 8

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$