Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal cos(2x)
Langkah 1
Tulis sebagai fungsi.
Langkah 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.1.2
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.1.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 3
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 3.2.2
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 3.3
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.3.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 4
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 5
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 5.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 5.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 5.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 6
Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan dari dalam sinus.
Langkah 7
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 8
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 8.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 8.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 8.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 8.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 8.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 8.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 8.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 9
Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.
Langkah 10
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 10.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 10.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 10.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.2.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.2.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 10.2.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 11
Penyelesaian untuk persamaan .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Kalikan dengan .
Langkah 13.2
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 13.3
Kalikan dengan .
Langkah 14
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 15
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 15.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 15.2.2
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 15.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 16
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 17
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 17.1.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 17.2
Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.
Langkah 17.3
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 17.4
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 17.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 18
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 19
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 19.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 19.2.1.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 19.2.2
Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.
Langkah 19.2.3
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 19.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 19.2.5
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 20
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 21