Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Langkah 1.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Langkah 2.10

Kalikan ${(x^{2} - 1)}^{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

Langkah 2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 2.11.2

Kalikan $6$ dengan $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 2.11.3

Faktorkan $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ dari $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.3.1

Faktorkan $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ dari $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 2.11.3.2

Faktorkan $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ dari $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.3.3

Faktorkan $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ dari $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.4

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.5

Tulis kembali ${(x^{2} - 1)}^{2}$ sebagai $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.6

Perluas $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.7.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.7.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.7.1.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.7.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.7.1.3

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.7.1.4

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.7.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.7.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.8

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.9.1

Kalikan $- 2$ dengan $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.9.2

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

Langkah 2.11.10

Perluas $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.11.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.2

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.11.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.2.3

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.3

Kalikan $8$ dengan $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.4

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.6

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.11.6.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.6.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.7

Kalikan $- 16$ dengan $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 16$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.9

Kalikan $7$ dengan $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

Langkah 2.11.11.10

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Langkah 2.11.12

Kurangi $112 x^{4}$ dengan $- 8 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Langkah 2.11.13

Tambahkan $16 x^{2}$ dan $56 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 4.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 4.1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Langkah 4.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Langkah 4.1.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Langkah 5.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Langkah 5.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.4

Atur ${(x^{2} - 1)}^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Atur ${(x^{2} - 1)}^{3}$ sama dengan $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Langkah 5.4.2

Selesaikan ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

Langkah 5.4.2.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

Langkah 5.4.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

Langkah 5.4.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Langkah 5.4.2.3

Atur ${(x + 1)}^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Atur ${(x + 1)}^{3}$ sama dengan $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Langkah 5.4.2.3.2

Selesaikan ${(x + 1)}^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.2.1

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 5.4.2.3.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 5.4.2.4

Atur ${(x - 1)}^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.4.1

Atur ${(x - 1)}^{3}$ sama dengan $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Langkah 5.4.2.4.2

Selesaikan ${(x - 1)}^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.4.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 5.4.2.4.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5.4.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 5.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ benar.

$x = 0, - 1, 1$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, - 1, 1$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Langkah 9.1.2

Kalikan $56$ dengan $0$ .

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Langkah 9.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Langkah 9.1.4

Kalikan $- 120$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Langkah 9.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

Langkah 9.1.6

Kalikan $72$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 0 - 8$

Langkah 9.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 0 - 8$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 - 8$

Langkah 9.2.3

Kurangi $8$ dengan $0$ .

$- 8$

Langkah 10

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

Langkah 11.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

Langkah 11.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (0) = 1$

Langkah 11.2.4

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $6$ .

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Langkah 13.1.2

Kalikan $56$ dengan $1$ .

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Langkah 13.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Langkah 13.1.4

Kalikan $- 120$ dengan $1$ .

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Langkah 13.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

Langkah 13.1.6

Kalikan $72$ dengan $1$ .

$56 - 120 + 72 - 8$

Langkah 13.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kurangi $120$ dengan $56$ .

$- 64 + 72 - 8$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $- 64$ dan $72$ .

$8 - 8$

Langkah 13.2.3

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$0$

Langkah 14

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 14.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 4$ , dari interval $(- \infty, - 1)$ dalam turunan pertama $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 14.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Kalikan $8$ dengan $- 4$ .

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 14.2.2.2

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

Langkah 14.2.2.3

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

Langkah 14.2.2.4

Naikkan $15$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

Langkah 14.2.2.5

Kalikan $- 32$ dengan $3375$ .

$f' (- 4) = - 108000$

Langkah 14.2.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 108000$ .

$- 108000$

Langkah 14.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 0.5$ , dari interval $(- 1, 0)$ dalam turunan pertama $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 14.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Kalikan $8$ dengan $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 14.3.2.2

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Langkah 14.3.2.3

Kurangi $1$ dengan $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

Langkah 14.3.2.4

Naikkan $- 0.75$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

Langkah 14.3.2.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 0.421875$ .

$f' (- 0.5) = 1.6875$

Langkah 14.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah $1.6875$ .

$1.6875$

Langkah 14.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0.5$ , dari interval $(0, 1)$ dalam turunan pertama $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 14.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1

Kalikan $8$ dengan $0.5$ .

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 14.4.2.2

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Langkah 14.4.2.3

Kurangi $1$ dengan $0.25$ .

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

Langkah 14.4.2.4

Naikkan $- 0.75$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

Langkah 14.4.2.5

Kalikan $4$ dengan $- 0.421875$ .

$f' (0.5) = - 1.6875$

Langkah 14.4.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

Langkah 14.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(1, \infty)$ dalam turunan pertama $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 14.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.1

Kalikan $8$ dengan $4$ .

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Langkah 14.5.2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

Langkah 14.5.2.3

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

Langkah 14.5.2.4

Naikkan $15$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

Langkah 14.5.2.5

Kalikan $32$ dengan $3375$ .

$f' (4) = 108000$

Langkah 14.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah $108000$ .

$108000$

Langkah 14.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = - 1$ , maka $x = - 1$ adalah minimum lokal.

$x = - 1$ adalah minimum lokal

Langkah 14.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 14.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 1$ , maka $x = 1$ adalah minimum lokal.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 14.9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$x = - 1$ adalah minimum lokal

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = 1$ adalah minimum lokal

$x = - 1$ adalah minimum lokal

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 15