Kalkulus Contoh

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x - 2 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.3.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.3.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Langkah 1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Langkah 1.4.2.2

Kurangi $2$ dengan $7$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - 2 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Langkah 2.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

Langkah 2.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

Langkah 2.3

Kurangi $\frac{2}{x}$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x - 2 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 4.1.3.2

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.3.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Langkah 4.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Langkah 4.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Langkah 4.1.4.2.2

Kurangi $2$ dengan $7$ .

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $5 - 2 \ln (x)$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $5 - 2 \ln (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \ln (x) = - 5$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- 2 \ln (x) = - 5$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \ln (x) = - 5$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

Langkah 5.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

Langkah 5.5

Tulis kembali $\ln (x) = \frac{5}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5}{2}} = x$

Langkah 5.6

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 6.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = e^{\frac{5}{2}}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

Langkah 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ adalah maksimum lokal

Langkah 10

Tentukan nilai y ketika $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $e^{\frac{5}{2}}$ pada pernyataan tersebut.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $\frac{5}{2}$ keluar dari eksponen.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

Langkah 10.2.1.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

Langkah 10.2.1.3

Kalikan $\frac{5}{2}$ dengan $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

Langkah 10.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Langkah 10.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Langkah 10.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

Langkah 10.2.1.5

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

Langkah 10.2.2

Kurangi $5 e^{\frac{5}{2}}$ dengan $7 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Langkah 10.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Langkah 11

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ .

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ adalah maksimum lokal

Langkah 12