Kalkulus Contoh

$f (x) = x + \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Langkah 2.3

Kurangi $\sin (x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 + \cos (x) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (x) = - 1$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$x = π$

Langkah 7

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - π$

Langkah 8

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = π$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan $x = π$ .

$x = π, π$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \sin (π)$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \sin (0)$

Langkah 11.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 0$

Langkah 11.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 12

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Langkah 12.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \infty, π)$ dalam turunan pertama $1 + \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Langkah 12.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Langkah 12.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (0) = 2$

Langkah 12.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 12.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $6$ , dari interval $(π, \infty)$ dalam turunan pertama $1 + \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Langkah 12.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Evaluasi $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Langkah 12.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Langkah 12.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.96017028$ .

$1.96017028$

Langkah 12.4

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = π$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 12.5

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = x + \sin (x)$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 13