Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal y=1/3x^3-2x^2+3x+2
Langkah 1
Tulis sebagai fungsi.
Langkah 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.3
Gabungkan dan .
Langkah 2.2.4
Gabungkan dan .
Langkah 2.2.5
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.5.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.2.5.2
Bagilah dengan .
Langkah 2.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.4
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.4.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.4.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.5
Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.5.2
Tambahkan dan .
Langkah 3
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 3.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 3.3
Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 4
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 5
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 5.1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.2.3
Gabungkan dan .
Langkah 5.1.2.4
Gabungkan dan .
Langkah 5.1.2.5
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.2.5.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 5.1.2.5.2
Bagilah dengan .
Langkah 5.1.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 5.1.4
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.4.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.4.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.4.3
Kalikan dengan .
Langkah 5.1.5
Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.5.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.5.2
Tambahkan dan .
Langkah 5.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 6
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 6.2
Faktorkan menggunakan metode AC.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1
Mempertimbangkan bentuk . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya . Dalam hal ini, hasil kalinya dan jumlahnya .
Langkah 6.2.2
Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.
Langkah 6.3
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 6.4
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.4.1
Atur sama dengan .
Langkah 6.4.2
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 6.5
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.1
Atur sama dengan .
Langkah 6.5.2
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 6.6
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 7
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 8
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 9
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 10
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1
Kalikan dengan .
Langkah 10.2
Kurangi dengan .
Langkah 11
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 12
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 12.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 12.2.1.1.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 12.2.1.1.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 12.2.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 12.2.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 12.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 12.2.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 12.2.2
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 12.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 12.2.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 12.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 13
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 14
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1
Kalikan dengan .
Langkah 14.2
Kurangi dengan .
Langkah 15
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 16
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 16.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.1
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 16.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.1.3
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 16.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.2
Menentukan penyebut persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.2.1
Tulis sebagai pecahan dengan penyebut .
Langkah 16.2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.2.4
Tulis sebagai pecahan dengan penyebut .
Langkah 16.2.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.2.6
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.2.7
Tulis sebagai pecahan dengan penyebut .
Langkah 16.2.2.8
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.2.9
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.3
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 16.2.4
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.4.3
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.5
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.5.1
Kurangi dengan .
Langkah 16.2.5.2
Tambahkan dan .
Langkah 16.2.5.3
Tambahkan dan .
Langkah 16.2.6
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 17
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah minimum lokal
adalah maksimum lokal
Langkah 18