Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal y=x^4-3x^2
Langkah 1
Tulis sebagai fungsi.
Langkah 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 2.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 3
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 3.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 3.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 4
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 5
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 5.1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 5.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 6
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 6.2
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 6.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 6.2.3
Faktorkan dari .
Langkah 6.3
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 6.4
Atur sama dengan .
Langkah 6.5
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.1
Atur sama dengan .
Langkah 6.5.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.1
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 6.5.2.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 6.5.2.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.2.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.2.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 6.5.2.2.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Langkah 6.5.2.4
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.4.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.5.2.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 6.5.2.4.3
Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.4.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 6.5.2.4.3.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 6.5.2.4.3.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 6.5.2.4.3.4
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 6.5.2.4.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 6.5.2.4.3.6
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.4.3.6.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 6.5.2.4.3.6.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 6.5.2.4.3.6.3
Gabungkan dan .
Langkah 6.5.2.4.3.6.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.4.3.6.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 6.5.2.4.3.6.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 6.5.2.4.3.6.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 6.5.2.4.4
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.4.4.1
Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.
Langkah 6.5.2.4.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 6.5.2.5
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.2.5.1
Pertama, gunakan nilai positif dari untuk menemukan penyelesaian pertama.
Langkah 6.5.2.5.2
Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari untuk menemukan penyelesaian kedua.
Langkah 6.5.2.5.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Langkah 6.6
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 7
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 8
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 9
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 10
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 10.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 10.2
Kurangi dengan .
Langkah 11
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 12
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 12.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 12.2.1.2
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 12.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 12.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 12.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 13
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 14
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1.1
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 14.1.2
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1.2.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 14.1.2.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 14.1.2.3
Gabungkan dan .
Langkah 14.1.2.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1.2.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 14.1.2.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 14.1.2.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 14.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.1.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1.4.1
Faktorkan dari .
Langkah 14.1.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 14.1.4.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 14.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 14.2
Kurangi dengan .
Langkah 15
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 16
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 16.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.1
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 16.2.1.2
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.2.1
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.2.1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 16.2.1.2.1.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 16.2.1.2.1.3
Gabungkan dan .
Langkah 16.2.1.2.1.4
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.2.1.4.1
Faktorkan dari .
Langkah 16.2.1.2.1.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.2.1.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 16.2.1.2.1.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 16.2.1.2.1.4.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 16.2.1.2.1.4.2.4
Bagilah dengan .
Langkah 16.2.1.2.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 16.2.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 16.2.1.4
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.4.1
Faktorkan dari .
Langkah 16.2.1.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 16.2.1.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 16.2.1.4.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 16.2.1.5
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 16.2.1.6
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.6.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 16.2.1.6.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 16.2.1.6.3
Gabungkan dan .
Langkah 16.2.1.6.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.6.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 16.2.1.6.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 16.2.1.6.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 16.2.1.7
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 16.2.1.8
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.8.1
Faktorkan dari .
Langkah 16.2.1.8.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.8.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 16.2.1.8.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 16.2.1.8.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 16.2.1.9
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.9.1
Gabungkan dan .
Langkah 16.2.1.9.2
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.1.10
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 16.2.2
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 16.2.3
Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari yang sesuai.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.4
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 16.2.5
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.5.1
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.5.2
Kurangi dengan .
Langkah 16.2.6
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 16.2.7
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 17
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 18
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1.1
Gunakan kaidah pangkat untuk menyebarkan pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1.1.1
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 18.1.1.2
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 18.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 18.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 18.1.4
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1.4.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 18.1.4.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 18.1.4.3
Gabungkan dan .
Langkah 18.1.4.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1.4.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 18.1.4.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 18.1.4.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 18.1.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 18.1.6
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1.6.1
Faktorkan dari .
Langkah 18.1.6.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 18.1.6.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 18.1.7
Kalikan dengan .
Langkah 18.2
Kurangi dengan .
Langkah 19
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 20
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 20.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.1
Gunakan kaidah pangkat untuk menyebarkan pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.1.1
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 20.2.1.1.2
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 20.2.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 20.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 20.2.1.4
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.4.1
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.4.1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 20.2.1.4.1.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 20.2.1.4.1.3
Gabungkan dan .
Langkah 20.2.1.4.1.4
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.4.1.4.1
Faktorkan dari .
Langkah 20.2.1.4.1.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.4.1.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 20.2.1.4.1.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 20.2.1.4.1.4.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 20.2.1.4.1.4.2.4
Bagilah dengan .
Langkah 20.2.1.4.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 20.2.1.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 20.2.1.6
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.6.1
Faktorkan dari .
Langkah 20.2.1.6.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.6.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 20.2.1.6.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 20.2.1.6.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 20.2.1.7
Gunakan kaidah pangkat untuk menyebarkan pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.7.1
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 20.2.1.7.2
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 20.2.1.8
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 20.2.1.9
Kalikan dengan .
Langkah 20.2.1.10
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.10.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 20.2.1.10.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 20.2.1.10.3
Gabungkan dan .
Langkah 20.2.1.10.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.10.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 20.2.1.10.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 20.2.1.10.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 20.2.1.11
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 20.2.1.12
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.12.1
Faktorkan dari .
Langkah 20.2.1.12.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.12.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 20.2.1.12.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 20.2.1.12.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 20.2.1.13
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.13.1
Gabungkan dan .
Langkah 20.2.1.13.2
Kalikan dengan .
Langkah 20.2.1.14
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 20.2.2
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 20.2.3
Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari yang sesuai.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 20.2.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 20.2.4
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 20.2.5
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.5.1
Kalikan dengan .
Langkah 20.2.5.2
Kurangi dengan .
Langkah 20.2.6
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 20.2.7
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 21
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 22