Kalkulus Contoh

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Tulis $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 2.3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Langkah 2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Langkah 2.4.2.2

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Langkah 2.4.2.3

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 5

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 6

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 6.2

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Langkah 7

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Langkah 8

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 8.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 8.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 8.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 8.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 8.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 9

Atur $\sin (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $\sin (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Langkah 9.2

Selesaikan $\sin (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (x) = - 1$

Langkah 9.2.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 9.2.4

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 9.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 9.2.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 9.2.6

Penyelesaian untuk persamaan $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2})) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cos (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.1.4

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 - 2 \cdot 1$

Langkah 12.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 - 2$

Langkah 12.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$- 4$

Langkah 13

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 14.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 14.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0^{2}$

Langkah 14.2.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0$

Langkah 14.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Langkah 14.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cos (2 (\frac{3 π}{2})) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \cos (3 π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.1.2

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.1.5

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.1.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 16.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.1.8

Kalikan $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 - 2 \cdot - 1$

Langkah 16.1.8.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 2$

Langkah 16.2

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 17

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Langkah 17.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 4$ , dari interval $(- \infty, - \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = \sin (2 (- 4)) + 2 \cos (- 4)$

Langkah 17.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (- 8) + 2 \cos (- 4)$

Langkah 17.2.2.1.2

Evaluasi $\sin (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cos (- 4)$

Langkah 17.2.2.1.3

Evaluasi $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cdot - 0.65364362$

Langkah 17.2.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 - 1.30728724$

Langkah 17.2.2.2

Kurangi $1.30728724$ dengan $- 0.98935824$ .

$f' (- 4) = - 2.29664548$

Langkah 17.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2.29664548$ .

$- 2.29664548$

Langkah 17.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = \sin (2 (0)) + 2 \cos (0)$

Langkah 17.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f' (0) = \sin (0) + 2 \cos (0)$

Langkah 17.3.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Langkah 17.3.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Langkah 17.3.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Langkah 17.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f' (0) = 2$

Langkah 17.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 17.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $3$ , dari interval $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ dalam turunan pertama $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = \sin (2 (3)) + 2 \cos (3)$

Langkah 17.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (3) = \sin (6) + 2 \cos (3)$

Langkah 17.4.2.1.2

Evaluasi $\sin (6)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cos (3)$

Langkah 17.4.2.1.3

Evaluasi $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cdot - 0.98999249$

Langkah 17.4.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 0.98999249$ .

$f' (3) = - 0.27941549 - 1.97998499$

Langkah 17.4.2.2

Kurangi $1.97998499$ dengan $- 0.27941549$ .

$f' (3) = - 2.25940049$

Langkah 17.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2.25940049$ .

$- 2.25940049$

Langkah 17.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $7$ , dari interval $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dalam turunan pertama $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = \sin (2 (7)) + 2 \cos (7)$

Langkah 17.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$f' (7) = \sin (14) + 2 \cos (7)$

Langkah 17.5.2.1.2

Evaluasi $\sin (14)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cos (7)$

Langkah 17.5.2.1.3

Evaluasi $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cdot 0.75390225$

Langkah 17.5.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $0.75390225$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 1.5078045$

Langkah 17.5.2.2

Tambahkan $0.99060735$ dan $1.5078045$ .

$f' (7) = 2.49841186$

Langkah 17.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.49841186$ .

$2.49841186$

Langkah 17.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = - \frac{π}{2}$ , maka $x = - \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal.

$x = - \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 17.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = \frac{π}{2}$ , maka $x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 17.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = \frac{3 π}{2}$ , maka $x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 17.9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

$x = - \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 18