Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 2 x^{2} + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 4 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $6 x - 4$ dan $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 2 x^{2} + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 4 x + 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1$ ditambah $- 3$

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Langkah 5.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Langkah 5.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 5.4

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 5.4.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 5.4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 5.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 5.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 5.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 5.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{1}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 (\frac{1}{3}) - 4$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} - 4$

Langkah 9.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} - 4$

Langkah 9.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 - 4$

Langkah 9.2

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$- 2$

Langkah 10

$x = \frac{1}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{1}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.7

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 2}{9} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.3

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Kalikan $\frac{2}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.3.2

Kalikan $\frac{2}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.3.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 11.2.3.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Langkah 11.2.3.5

Susun kembali faktor-faktor dari $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Langkah 11.2.3.6

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Langkah 11.2.3.7

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{27}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{27}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{27}$

Langkah 11.2.5.2

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 9}{27}$

Langkah 11.2.5.3

Tambahkan $- 5$ dan $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27}$

Langkah 11.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 (1) - 4$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 - 4$

Langkah 13.2

Kurangi $4$ dengan $6$ .

$2$

Langkah 14

$x = 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Langkah 15.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

Langkah 15.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Langkah 15.2.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Langkah 15.2.3

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.3.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Langkah 15.2.3.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (1) = 0$

Langkah 15.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

$(\frac{1}{3}, \frac{4}{27})$ adalah maksimum lokal

$(1, 0)$ adalah minimum lokal

Langkah 17