Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [27 x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $27 x$ terhadap $x$ adalah $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $27$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 18 x + 27$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18 x$ terhadap $x$ adalah $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 18$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $27$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $6 x - 18$ dan $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27 x)$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (27 x)$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $27 x$ terhadap $x$ adalah $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $27$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 27 = 0$

Langkah 5.2.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 27 = 0$

Langkah 5.2.1.3

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Langkah 5.2.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Langkah 5.2.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Langkah 5.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Langkah 5.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah ${(x - 3)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 5.4

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 5.5

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 3$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 3$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 (3) - 18$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$18 - 18$

Langkah 9.2

Kurangi $18$ dengan $18$ .

$0$

Langkah 10

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 10.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \infty, 3)$ dalam turunan pertama $3 x^{2} - 18 x + 27$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 27$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Langkah 10.2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Langkah 10.2.2.1.3

Kalikan $- 18$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 27$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f' (0) = 0 + 27$

Langkah 10.2.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $27$ .

$f' (0) = 27$

Langkah 10.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $27$ .

$27$

Langkah 10.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $6$ , dari interval $(3, \infty)$ dalam turunan pertama $3 x^{2} - 18 x + 27$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 + 27$

Langkah 10.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 18 \cdot 6 + 27$

Langkah 10.3.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $36$ .

$f' (6) = 108 - 18 \cdot 6 + 27$

Langkah 10.3.2.1.3

Kalikan $- 18$ dengan $6$ .

$f' (6) = 108 - 108 + 27$

Langkah 10.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1

Kurangi $108$ dengan $108$ .

$f' (6) = 0 + 27$

Langkah 10.3.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $27$ .

$f' (6) = 27$

Langkah 10.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $27$ .

$27$

Langkah 10.4

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 3$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 10.5

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 11