Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

Langkah 1

Kalikan untuk merasionalkan pembilangnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas pembilangnya menggunakan metode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $2 x + 1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

Langkah 3.1.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 3.1.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

Langkah 3.1.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

Langkah 3.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} 1$

Langkah 4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$1$