Kalkulus Contoh

${(e^{- t} + e^{t})}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{3}$ dan $g (t) = e^{- t} + e^{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $e^{- t} + e^{t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $e^{- t} + e^{t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Langkah 2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{- t} + e^{t}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = - t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- t$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- t$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 4.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 4.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- t}$ sebagai $- e^{- t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ adalah $a^{t} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali ${(e^{- t} + e^{t})}^{2}$ sebagai $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ .

$3 ((e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.2

Perluas $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (e^{- t} (e^{- t} + e^{t}) + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.2.3

Terapkan sifat distributif.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Kalikan $e^{- t}$ dengan $e^{- t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (e^{- t - t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.1.2

Kurangi $t$ dengan $- t$ .

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan $e^{- t}$ dengan $e^{t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t + t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.2.2

Tambahkan $- t$ dan $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + e^{0} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan $e^{0}$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.4

Kalikan $e^{t}$ dengan $e^{- t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.4.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t - t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.4.2

Kurangi $t$ dengan $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{0} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.5

Sederhanakan $e^{0}$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.6

Kalikan $e^{t}$ dengan $e^{t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t + t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.1.6.2

Tambahkan $t$ dan $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 (e^{- 2 t} + 2 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$(3 e^{- 2 t} + 3 \cdot 2 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Langkah 6.6

Perluas $(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$3 e^{- 2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \cdot - 1 e^{- 2 t} e^{- t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.2

Kalikan $e^{- 2 t}$ dengan $e^{- t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1

Pindahkan $e^{- t}$ .

$3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- 2 t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 \cdot - 1 e^{- t - 2 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.2.3

Kurangi $2 t$ dengan $- t$ .

$3 \cdot - 1 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.4

Kalikan $e^{- 2 t}$ dengan $e^{t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.4.1

Pindahkan $e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 (e^{t} e^{- 2 t}) + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{t - 2 t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.4.3

Kurangi $2 t$ dengan $t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.5

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{2 t} e^{- t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.7

Kalikan $e^{2 t}$ dengan $e^{- t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.7.1

Pindahkan $e^{- t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{2 t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{- t + 2 t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.7.3

Tambahkan $- t$ dan $2 t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.8

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Langkah 6.7.9

Kalikan $e^{2 t}$ dengan $e^{t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.9.1

Pindahkan $e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 (e^{t} e^{2 t})$

Langkah 6.7.9.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{t + 2 t}$

Langkah 6.7.9.3

Tambahkan $t$ dan $2 t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

Langkah 6.8

Kurangi $6 e^{- t}$ dengan $3 e^{- t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

Langkah 6.9

Kurangi $3 e^{t}$ dengan $6 e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$