Kalkulus Contoh

$y = x^{2} \ln (5 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (5 x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{5 x}$ dan $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $5 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{5} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{x}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5 x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{5 x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.4.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.6

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = x + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (5 x) (2 x)$

Langkah 1.3.8

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x \ln (5 x) + x$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x \ln (5 x) + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x \ln (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x \ln (5 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (5 x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.7

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.8

Gabungkan $\frac{1}{5 x}$ dan $5$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{5}{5 x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{5}{5 x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.10

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.11

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.12

Kalikan $\ln (5 x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x)) + 1$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (5 x) + 1$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (5 x) + 1$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (5 x) + 3$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \ln (5 x) + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \ln (5 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.6

Gabungkan $\frac{1}{5 x}$ dan $5$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{5}{5 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f''' (x) = 2 (\frac{5}{5 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.2.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $\frac{2}{x}$ dan $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Langkah 4.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 4.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Langkah 4.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$