Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x - x^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{x^{1} - x^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Faktorkan $x$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Langkah 1.1.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (1 - x)}$

Langkah 1.1.1.5

Kalikan $x$ dengan $1 - x$ .

$\frac{1}{x (1 - x)}$

Langkah 1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

Langkah 1.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x (1 - x)$ .

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.6.1.2

Bagilah $A (1 - x)$ dengan $1$ .

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.6.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.6.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.6.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

Langkah 1.1.6.5.2

Bagilah $(B) (x)$ dengan $1$ .

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

Langkah 1.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan $A$ .

$1 = A - x A + B x$

Langkah 1.1.7.2

Susun kembali $B$ dan $x$ .

$1 = A - x A + B x$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan $A$ .

$1 = - x A + B x + A$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = - 1 A + B$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Langkah 1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = - 1 A + B$ dengan $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

Langkah 1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = - 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

Langkah 1.3.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Langkah 1.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = 1 A = 1$

Langkah 1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = 1, A = 1$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

Langkah 1.5

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 1 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 1 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 4.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Langkah 5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

Langkah 9

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x$ .

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$