Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = 2 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positif.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.7

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.8

Kalikan eksponen dalam ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.8.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.8.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.9

Tulis kembali $64 \cos^{6} (t)$ sebagai ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.10

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $2 \cos (t)$ dari $8 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Langkah 3.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Langkah 3.2.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Langkah 3.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Langkah 3.2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Langkah 3.2.2.5

Konversikan dari $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ ke $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Langkah 4

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 7

Karena turunan dari $\tan (t)$ adalah $\sec^{2} (t)$ , maka integral dari $\sec^{2} (t)$ adalah $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Langkah 8

Sederhanakan.

$- t + \tan (t) + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Langkah 10

Susun kembali suku-suku.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$