Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 9}{x^{2} + 3} d x$

Langkah 1

Bagilah $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 9$ dengan $x^{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$9$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$9$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$9$

$x^{3}$

$0$

$3 x$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 + 3 x$

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$9$

$x^{3}$

$0$

$3 x$

$3 x^{2}$

$x$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$

Langkah 1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$

Langkah 1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	-	$9$

Langkah 1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{2} + 0 - 9$

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$
							+	$3 x^{2}$	-	$0$	+	$9$

Langkah 1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$
							+	$3 x^{2}$	-	$0$	+	$9$
									+	$x$	+	$0$

Langkah 1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int x - 3 + \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = x^{2} + 3$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = x^{2} + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 5.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$