Kalkulus Contoh

$\int \tan^{5} (x) \sec^{7} (x) d x$

Langkah 1

Faktorkan $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\tan (x)}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (x)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \sec (x)$ . Kemudian $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \sec (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

Langkah 5

Perluas ${(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${(- 1 + u^{2})}^{2}$ sebagai $(- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2})$ .

$\int (- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2}) u^{6} d u$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (- 1 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Langkah 5.5

Terapkan sifat distributif.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2}) u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Langkah 5.6

Terapkan sifat distributif.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Langkah 5.7

Terapkan sifat distributif.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} \cdot - 1 u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.8

Susun kembali $u^{2}$ dan $- 1$ .

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 \cdot u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.10

Kalikan $u^{6}$ dengan $1$ .

$\int u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.11

Buang faktor negatif.

$\int u^{6} - (u^{2} u^{6}) - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{6} - u^{2 + 6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.13

Tambahkan $2$ dan $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.14

Buang faktor negatif.

$\int u^{6} - u^{8} - (u^{2} u^{6}) + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{2 + 6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.16

Tambahkan $2$ dan $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Langkah 5.17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2 + 2} u^{6} d u$

Langkah 5.18

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4} u^{6} d u$

Langkah 5.19

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4 + 6} d u$

Langkah 5.20

Tambahkan $4$ dan $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{10} d u$

Langkah 5.21

Kurangi $u^{8}$ dengan $- u^{8}$ .

$\int u^{6} - 2 u^{8} + u^{10} d u$

Langkah 5.22

Susun kembali $- 2 u^{8}$ dan $u^{10}$ .

$\int u^{6} + u^{10} - 2 u^{8} d u$

Langkah 5.23

Pindahkan $u^{6}$ .

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{10} d u + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{10}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Langkah 8

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 \int u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{8}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int u^{6} d u$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{6}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{u^{9}}{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{11} (x)}{11} - \frac{2 \sec^{9} (x)}{9} + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{11} \sec^{11} (x) - \frac{2}{9} \sec^{9} (x) + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$