Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

Langkah 2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Langkah 4

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ dan $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ pada $2 π$ dan pada $\frac{π}{2}$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 5.2.2.2

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 5.3.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

Langkah 5.3.3

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

Langkah 5.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

Langkah 5.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Langkah 5.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Langkah 5.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

Langkah 5.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

Langkah 5.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

Langkah 5.3.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

Langkah 5.4.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

Langkah 5.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - 1$

Langkah 6.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 2 π + 0 - 1$

Langkah 6.2

Tambahkan $- 2 π$ dan $0$ .

$- 2 π - 1$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 2 π - 1$

Bentuk Desimal:

$- 7.28318530 \dots$