Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Langkah 1

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pindahkan $5$ .

$4 x - x^{2} + 5$

Langkah 1.1.2

Susun kembali $4 x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

Langkah 1.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Langkah 1.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$d = - 2$

Langkah 1.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $4^{2}$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

Langkah 1.5.2.1.2

Kalikan $- (- 1 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 5 - - 4$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$e = 5 + 4$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$e = 9$

Langkah 1.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x - 2)}^{2} + 9$ .

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = x - 2$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = x - 2$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = 3 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positif.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan $\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.2

Susun kembali $- 9 \sin^{2} (t)$ dan $9$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.5

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.6

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.7

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 4.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 4.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 4.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 4.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 5

Karena $9$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 12

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 16.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 16.4

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

Langkah 16.5

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

Langkah 17.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Langkah 17.3

Gabungkan $\frac{9}{2}$ dan $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Langkah 17.4

Kalikan $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 17.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$