Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Langkah 1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2$ ditambah $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Langkah 1.2

Tulis kembali ${\sec (x)}^{2 + 2}$ sebagai $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Langkah 2

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sec^{2} (x)$ sebagai $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Langkah 3

Biarkan $u = \tan (x)$ . Kemudian $d u = \sec^{2} (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = \tan (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Langkah 3.5

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{3})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Langkah 4

Kalikan $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $u^{5}$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Langkah 5.2

Kalikan $u^{5}$ dengan $u^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $5$ dan $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{5}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{7}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ dan $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ pada $\sqrt{3}$ dan pada $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{6}$ sebagai $3^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.1.4.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.3

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.4.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.5

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{8}$ sebagai $3^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.5.4

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.5.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.5.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.5.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.5.4.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.7

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.8

Untuk menuliskan $\frac{9}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.9

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.9.1

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.9.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.11.1

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.11.2

Tambahkan $36$ dan $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.12

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.13

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Langkah 10.2.14

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

Langkah 10.2.15

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

Langkah 10.2.16

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

Langkah 10.2.17

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

Langkah 10.2.18

Tambahkan $\frac{117}{8}$ dan $0$ .

$\frac{117}{8}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{117}{8}$

Bentuk Desimal:

$14.625$

Bentuk Bilangan Campuran:

$14 \frac{5}{8}$