Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{18}} \sin^{5} (9 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 9 x$ . Kemudian $d u_{1} = 9 d x$ sehingga $\frac{1}{9} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 9 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = 9 x$ .

$u_{lower} = 9 \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = 9 x$ .

$u_{upper} = 9 \frac{π}{18}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $9$ dari $18$ .

$u_{upper} = 9 \frac{π}{9 (2)}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 9 \frac{π}{9 \cdot 2}$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1}$

Langkah 2

Gabungkan $\sin^{5} (u_{1})$ dan $\frac{1}{9}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{9} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Faktorkan $\sin^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 5.2

Tulis kembali ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 7

Biarkan $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Langkah 7.1.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Langkah 7.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 7.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 7.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 7.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{9} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Langkah 9

Perluas ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ sebagai $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Langkah 9.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Langkah 9.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Langkah 9.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Langkah 9.5

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Langkah 9.6

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 9.7

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 9.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 9.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 9.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 9.11

Kalikan ${u_{2}}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 9.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Langkah 9.13

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Langkah 9.14

Kurangi ${u_{2}}^{2}$ dengan $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Langkah 9.15

Susun kembali $- 2 {u_{2}}^{2}$ dan ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 9.16

Pindahkan $1$ .

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{9} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{4}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{9} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Langkah 13

Karena $- 2$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Langkah 15

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Langkah 16

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

Langkah 17

Gabungkan $\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ dan $u_{2}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Langkah 18

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Evaluasi $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{9} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Langkah 18.2

Evaluasi $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{9} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{9} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{9} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{9} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.7

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$\frac{1}{9} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.8

Kurangi $\frac{6}{5}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

Langkah 18.3.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

Langkah 18.3.12

Kurangi $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

Langkah 18.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

Langkah 18.3.14

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

Langkah 18.3.15

Untuk menuliskan $- \frac{6}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

Langkah 18.3.16

Untuk menuliskan $\frac{2}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Langkah 18.3.17

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.17.1

Kalikan $\frac{6}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Langkah 18.3.17.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Langkah 18.3.17.3

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

Langkah 18.3.17.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

Langkah 18.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

Langkah 18.3.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.19.1

Kalikan $- 6$ dengan $3$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

Langkah 18.3.19.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

Langkah 18.3.19.3

Tambahkan $- 18$ dan $10$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{- 8}{15})$

Langkah 18.3.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{9} (- - \frac{8}{15})$

Langkah 18.3.21

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{9} (1 (\frac{8}{15}))$

Langkah 18.3.22

Kalikan $\frac{8}{15}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{8}{15}$

Langkah 18.3.23

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8}{9 \cdot 15}$

Langkah 18.3.24

Kalikan $9$ dengan $15$ .

$\frac{8}{135}$

Langkah 19

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{8}{135}$

Bentuk Desimal:

$0.0\overline{592}$