Kalkulus Contoh

$\int 3 \cos^{2} (5 x) d x$

Langkah 1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \cos^{2} (5 x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = 5 x$ . Kemudian $d u_{1} = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = 5 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$3 \int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Langkah 3

Gabungkan $\cos^{2} (u_{1})$ dan $\frac{1}{5}$ .

$3 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$3 (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $3$ .

$\frac{3}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{3}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{3}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 12

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

$\frac{3}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Langkah 16.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (5 x))) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (10 x)) + C$

Langkah 17.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (10 x)$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{\sin (10 x)}{2}) + C$

Langkah 17.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3}{10} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Langkah 17.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Langkah 17.3.2

Faktorkan $5$ dari $5 x$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 (x)) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Langkah 17.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{5 \cdot 2} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Langkah 17.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Langkah 17.4

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Langkah 17.5

Kalikan $\frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.1

Kalikan $\frac{3}{10}$ dengan $\frac{\sin (10 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{10 \cdot 2} + C$

Langkah 17.5.2

Kalikan $10$ dengan $2$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{20} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{20} \sin (10 x) + C$