Kalkulus Contoh

$\int_{- 9}^{9} \sqrt{81 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 9 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 9 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $9 \cos (t)$ positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 - {(9 \sin (t))}^{2}} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{81 - {(9 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $9 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 - (9^{2} \sin^{2} (t))} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 - (81 \sin^{2} (t))} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $81$ dengan $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 - 81 \sin^{2} (t)} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $81$ dari $81$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 (1) - 81 \sin^{2} (t)} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $81$ dari $- 81 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 (1) + 81 (- \sin^{2} (t))} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $81$ dari $81 (1) + 81 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 (1 - \sin^{2} (t))} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 \cos^{2} (t)} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $81 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(9 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(9 \cos (t))}^{2}} (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 \cos (t) (9 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 81 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 2.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 81 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 81 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 2.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 81 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 81 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 3

Karena $81$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $81$ keluar dari integral.

$81 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$81 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$81 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $81$ .

$\frac{81}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{81}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{81}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 9.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Langkah 9.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 9.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 9.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = - π$

Langkah 9.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 9.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 9.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 9.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Langkah 9.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{81}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 10

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{81}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{81}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{81}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $π$ dan pada $- π$ .

$\frac{81}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 13.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{81}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 13.3.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 13.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{81}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 13.3.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$\frac{81}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{81}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{81}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Langkah 14.1.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{81}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Langkah 14.1.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{81}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Langkah 14.1.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{81}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Langkah 14.1.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{81}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Langkah 14.1.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{81}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Langkah 14.1.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{81}{2} (π + 0)$

Langkah 14.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$\frac{81}{2} π$

Langkah 14.3

Gabungkan $\frac{81}{2}$ dan $π$ .

$\frac{81 π}{2}$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{81 π}{2}$

Bentuk Desimal:

$127.23450247 \dots$

Langkah 16