Kalkulus Contoh

$\int \arccos (2 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arccos (2 x)$ dan $d v = 1$ .

$\arccos (2 x) x - \int x (- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{x \cdot 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\arccos (2 x) x - - \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\arccos (2 x) x + 1 \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 4.2

Kalikan $\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ dengan $1$ .

$\arccos (2 x) x + \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = 1 - 4 x^{2}$ . Kemudian $d u = - 8 x d x$ sehingga $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 1 - 4 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Langkah 6.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 4 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 6.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 6.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$0 - 8 x$

Langkah 6.1.4

Kurangi $8 x$ dengan $0$ .

$- 8 x$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Langkah 7.3

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\arccos (2 x) x + 2 (- \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 9

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\arccos (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$\arccos (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 11.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 11.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 11.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 11.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arccos (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 11.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 11.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 11.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 11.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 11.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 11.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Langkah 13.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arccos (2 x) x - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - 4 x^{2}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{{(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{2} {(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$